计算任意矩阵的任意次方

思考题：如何计算如下矩阵的任意次方 ( 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 ) \begin{pmatrix}2&1&0&0\\0&2&1&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛​2000​1200​0120​0012​⎠⎟⎟⎞​ 思路：

给出的例子是一个四阶的Jordan块，这是一个提示。我们知道任何方阵都相似于由Jordan阵构成的分块矩阵，也就是 A = T J T − 1 A=TJT^{-1} A=TJT−1，其中 J = ( J 1 0 ⋯ 0 0 J 2 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 J s ) J=\begin{pmatrix}J_1&0&\cdots&0\\0&J_2&\cdots&0\\\vdots&&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&J_s\end{pmatrix} J=⎝⎜⎜⎜⎛​J1​0⋮0​0J2​⋯​⋯⋯⋱0​00⋮Js​​⎠⎟⎟⎟⎞​是多个循环子空间的直和。所以任意矩阵都可以通过化成Jordan标准型来计算其任意次方：

f ( A ) = A k = ( T ( J 1 0 ⋯ 0 0 J 2 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 J s ) T − 1 ) k = T ( J 1 k 0 ⋯ 0 0 J 2 k ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 J s k ) T − 1 f(A)=A^k=(T\begin{pmatrix}J_1&0&\cdots&0\\0&J_2&\cdots&0\\\vdots&&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&J_s\end{pmatrix}T^{-1})^{k}=T\begin{pmatrix}J_1^{k}&0&\cdots&0\\0&J_2^k&\cdots&0\\\vdots&&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&J_s^k\end{pmatrix}T^{-1} f(A)=Ak=(T⎝⎜⎜⎜⎛​J1​0⋮0​0J2​⋯​⋯⋯⋱0​00⋮Js​​⎠⎟⎟⎟⎞​T−1)k=T⎝⎜⎜⎜⎛​J1k​0⋮0​0J2k​⋯​⋯⋯⋱0​00⋮Jsk​​⎠⎟⎟⎟⎞​T−1

问题在于如何计算Jordan块的任意次方。

假如是计算 J k , r a n k ( J ) = m J^k,rank(J)=m Jk,rank(J)=m，记 f ( x ) = x k , k ∈ R f(x)=x^k,k\in R f(x)=xk,k∈R，则 f ( J ) = J k = ( λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ λ 1 0 ⋯ ⋯ 0 λ ) k = ( f ( λ ) f ′ ( λ ) / 1 ! f ′ ′ ( λ ) / 2 ! ⋯ f ( m − 1 ) ( λ ) / ( m − 1 ) ! 0 f ( λ ) f ′ ( λ ) / 1 ! ⋯ f ( m − 2 ) ( λ ) / ( m − 2 ) ! ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ f ( λ ) f ′ ( λ ) / 1 ! 0 ⋯ ⋯ 0 f ( λ ) ) f(J)=J^k=\begin{pmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0\\0&\lambda&1&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&&\ddots&\lambda&1\\0&\cdots&\cdots&0&\lambda\end{pmatrix}^k= \begin{pmatrix}f(\lambda)&f'(\lambda)/1!&f''(\lambda)/2!&\cdots&f^{(m-1)}(\lambda)/(m-1)!\\0&f(\lambda)&f'(\lambda)/1!&\cdots&f^{(m-2)}(\lambda)/(m-2)!\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&&\ddots&f(\lambda)&f'(\lambda)/1!\\0&\cdots&\cdots&0&f(\lambda)\end{pmatrix} f(J)=Jk=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​λ0⋮⋮0​1λ⋱⋯​01⋱⋱⋯​⋯⋯⋱λ0​00⋮1λ​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​k=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​f(λ)0⋮⋮0​f′(λ)/1!f(λ)⋱⋯​f′′(λ)/2!f′(λ)/1!⋱⋱⋯​⋯⋯⋱f(λ)0​f(m−1)(λ)/(m−1)!f(m−2)(λ)/(m−2)!⋮f′(λ)/1!f(λ)​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​ 在本次思考题中， λ = 2 , m = 4 \lambda=2,m=4 λ=2,m=4，求 k = 0.5 k=0.5 k=0.5次方： ( 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 ) 1 / 2 = ( 2 1 / 2 1 2 ∗ 1 ! ∗ 2 − 1 / 2 − 1 4 ∗ 2 ! ∗ 2 − 3 / 2 3 8 ∗ 3 ! ∗ 2 − 5 / 2 0 2 1 / 2 1 2 ∗ 1 ! ∗ 2 − 1 / 2 − 1 4 ∗ 2 ! ∗ 2 − 3 / 2 0 0 2 1 / 2 1 2 ∗ 1 ! ∗ 2 − 1 / 2 0 0 0 2 1 / 2 ) \begin{pmatrix}2&1&0&0\\0&2&1&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{pmatrix}^{1/2}=\begin{pmatrix}2^{1/2}&\frac{1}{2*1!}*2^{-1/2}&-\frac{1}{4*2!}*2^{-3/2}&\frac{3}{8*3!}*2^{-5/2}\\0&2^{1/2}&\frac{1}{2*1!}*2^{-1/2}&-\frac{1}{4*2!}*2^{-3/2}\\0&0&2^{1/2}&\frac{1}{2*1!}*2^{-1/2}\\0&0&0&2^{1/2}\end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛​2000​1200​0120​0012​⎠⎟⎟⎞​1/2=⎝⎜⎜⎛​21/2000​2∗1!1​∗2−1/221/200​−4∗2!1​∗2−3/22∗1!1​∗2−1/221/20​8∗3!3​∗2−5/2−4∗2!1​∗2−3/22∗1!1​∗2−1/221/2​⎠⎟⎟⎞​